Pytanie
Część rzeczywista
każdego nietrywialnego zera funkcji dzeta jest równa ½
– hipoteza Riemanna
Atomy, cząstki elementarne, morfemy, fonemy, bajty… Wszystko można finalnie doprowadzić do najmniejszych, niepodzielnych cząsteczek. Dojść do momentu, w którym nie da się zajść ani kroku dalej. Wiele wskazuje na to, że dla matematyki najbardziej niepodzielnymi elementami – atomami – są liczby pierwsze:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97… i tak w nieskończoność. Każdą liczbę można przedstawić w formie iloczynu liczb pierwszych, których nie da się podzielić dalej. Osoba licząca natrafia na ścianę. Dochodzi do końca, do ostatniej warstwy. Problem polega na tym, że układ liczb pierwszych nie ma sensu. Jeśli zapisać nieskończenie długi ciąg liczb, to liczby pierwsze nie będą pojawiać się w żadnym określonym porządku. Dlaczego?
„Dlaczego?” – to pytanie zadawałem bardzo często matce, która wielokrotnie ostrzegała mnie przed panem Krzysztofem.
– Uważaj na pana Koźleckiego, synku.
– Dlaczego? – pytałem.
– Bo to wariat…
– Ale dlaczego, mamo. Nie rozumiem.
Mama wpadała w irytację i zakłopotanie. Sama nie wiedziała. Wiedziała tylko, że Koźlecki czasami szed ł na pobliski plac zabaw (okno w naszym salonie wychodziło właśnie na ten plac) z ołówkiem i kilkoma kartkami papieru. Bazgrał jakieś szlaczki (mama mówiła „mróweczki”), co jakiś czas krzyczał na siebie: „Głupi, głupi, stary osioł, kozioł. Idiota.”. Po czym zgniatał kartkę w dłoni i wyrzucał za siebie. Potrafił spędzić tak wiele godzin, chociaż zawsze zostawiał za sobą porządek. Bywało, że niósł z powrotem całą reklamówkę wypchaną zmiętymi kartkami.
Bawiliśmy się kiedyś na dworze. Graliśmy w słupki. Zabawa polegała na kopaniu piłką w taki sposób, aby odbijała się od trzech niewielkich drabinek. Największa, czerwona – pięć punktów. Średnia, żółta – dziesięć punktów. Ostatnia, najmniejsza, niebieska – piętnaście punktów. Kto pierwszy przekroczy setkę, wygrywa.
– Tak, tak, schody! – usłyszałem głos pana Krzysztofa.
Wtedy nazywaliśmy go Czubkiem. Starsi koledzy preferowali nieco bardziej zbrutalizowane określenia, ale my byliśmy jeszcze na etapie ekscytacji znaczeniem słowa „dupa”. Jeszcze o wiele za mali, by zrozumieć sens „kurwy”. Czubek usiadł na ławce nieopodal drabinek. Rzeczywiście wyglądały jak trzy wysokie schody. Pamiętam, że moim największym marzeniem było przerosnąć czerwoną drabinkę. Przestraszyłem się, bo mama ostrzegała przed Czubkiem, a teraz on był tak blisko. Jeśli chciałby zrobić nam krzywdę, w zasadzie nic nie mogłoby go powstrzymać. Tylko że on na nas nie patrzył. Obserwował kolorowe drabinki, a kiedy uderzenie piłki wprawiło którąś w membraniczne drgania, to aż podskakiwał na ławce. Tamtego dnia przegoniła go jakaś kobieta z psem. Sam jej nie znałem, ale musiała być z klatki obok, gdyż doskonale znała Czubka. W ogóle ten plac zabaw był jak wioska, w której wszyscy znają wszystkich. Okalały go trzy długie bloki i gdyby spojrzeć na to wszystko z lotu ptaka, to ułożyłyby się one w literę „U”. W jej środku był właśnie plac zabaw. Serce naszego dzieciństwa. Wystraszony Czubek uciekł, gubiąc po drodze kilka kartek. Udało mi się złapać jedną z nich, rozłożyć i zobaczyć coś, czego nie miałem wówczas prawa zrozumieć i, jeśli mam być szczery, dziś wciąż bym nie zrozumiał.
x x x x x x … =
Schody. Stopnie ustawione w konkretnej hierarchii wysokościowej, dzięki której człowiek może dostać się na wyższą kondygnację, jednakże co jest na samym szczycie schodów? Dlaczego komuś uroiło się, że miałaby być tam platforma z białymi drzwiami, za którymi człowiek doznałby całkowitego oświecenia? Struktura schodkowa pomogła Leonhardowi Eulerowi zrozumieć całkowitą (być może przypadkową?) różnorodność występowania liczb pierwszych w linearnym ciągu liczb. W schodach wszak każdy kolejny stopień musi być nieco wyższy od poprzedniego, natomiast pomiędzy schodkami (liczbami pierwszymi) tworzą się nierzadko ogromne płaszczyzny (wszystkie liczby niebędące pierwszymi) zaprzeczające idei schodów. Euler – szwajcarski matematyk i fizyk – wierzył, że liczby pierwsze mimo wszystko tworzą jakąś prawidłowość. Muszą występować w jakimś porządku, nawet jeśli nie jest on widoczny przy użyciu współczesnych mu narzędzi poznawczych (Euler pracował nad teorią liczb pierwszych w sile XVIII wieku). I, cóż… Nie pomylił się, jednakże odpowiedź na jego pytanie wprawiła go jedynie w większą konsternację. Warto zauważyć jeszcze jeden ciekawy fakt. Liczby nie są pojęciami konkretnymi. Co bowiem znaczy 5? Można powiedzieć, że czegoś jest pięć, lecz wówczas sama cyfra sprowadza się wyłącznie do funkcji liczebnika, co – bądźmy szczerzy – nie jest matematycznie atrakcyjnie. Euler przeczuwał jednak, że te abstrakty, niemalże platońskie idee, mają wiele wspólnego z samą tkaniną wszechświata. Wierzył w białe drzwi na końcu nieskończonego ciągu liczb pierwszych.
Zapis, który znalazłem na kartce Czubka był wymysłem Eulera stworzonym na potrzeby zupełnie innego problemu matematycznego – bo trzeba jasno powiedzieć, że liczby pierwsze nie stanowiły jedynie obsesji Eulera. Równanie to dowodzi czegoś prawdziwie przełomowego. Całkowicie losowo rozmieszczone liczby pierwsze dają wynik przedstawiający stałą opisującą koło:
Najdoskonalszy kształt we wszechświecie. Kształt zbyt idealny, aby mógł być dziełem losowości i przypadku. Nie wiedziałem, co trzymam w dłoniach, moi koledzy też nie.
– Wyrzuć te śmieci i dalej gramy w słupki!
Znajomi zachęcali do kontynuowania przerwanej zabawy, lecz ja czułem, że powinienem oddać Czubkowi tę kartkę. Naiwność dziecka. To równanie było zapewne wypalone na wewnętrznej ściance jego umysłu, ale ja byłem przekonany, że stracił kluczowy ciąg znaków. Dlaczego po prostu nie stwierdziłem, że trzymam w dłoniach zapiski wariata? Lubię myśleć, że oczarowały mnie liczby pierwsze.
Czubek mieszkał na ostatnim piętrze, musiałem zatem pokonać kilkanaście dodatkowych stopni. Wciąż rozczula mnie ta nieco prymitywna symbolika. Całkowicie przerażony – nie dość, że łamałem maminy zakaz, to jeszcze stałem przed perspektywą konfrontacji z Czubkiem – nacisnąłem dzwonek do jego drzwi. Po chwili usłyszałem ociężałe szuranie i dźwięk przekręcanego skobla. Czubek otworzył drzwi i spojrzał na mnie pytająco. Sam nie byłem w stanie wydusić z siebie słowa, po prostu podałem mu zmięty kawałek papieru. Uniósłszy brwi jeszcze wyżej, wziął ode mnie kartkę i rzucił na nią okiem. Od razu się uśmiechnął i zaśmiał.
– Nie chcesz wejść na herbatę? Opowiem ci, co w zasadzie zobaczyłeś. – Usunął mi się z drogi i z zadowoloną miną wpuścił do mieszkania. Nie wiem, dlaczego wszedłem. Opowiadał o liczbach, porządku, chaosie, wszechświecie… Nic nie rozumiałem. Przyjemnie słuchało się jego jednostajnego tonu głosu. Brzmiał jak nieco zepsuty instrument muzyczny, którego usterka spowodowała, że nie jest w stanie grać żadnych dźwięków oprócz jednego. Ale ten jeden dźwięk jest najpiękniejszy na świecie. Mieszkanie Czubka stało się moim punktem kontrolnym. Wracałem do niego w różnych etapach swojego życia, ale zdecydowanie tym najważniejszym dla mnie momentem była rozmowa o hipotezie Riemanna. Miało to miejsce dużo później, niż moja pierwsza wizyta i oddanie kartki z równaniem Eulera.
Bernhard Riemann. Wśród wielu osób związanych jakkolwiek ze światem matematyki, te dwa słowa wywołują szereg nieoczekiwanych emocji. Niemiecki matematyk, człowiek odpowiedzialny za stworzenie hipotezy, która po dziś dzień nie doczekała się jednoznacznego potwierdzenia lub obalenia. Dziewiętnastowieczny geniusz, którego prace przyczyniły się do stworzenia ogólnej teorii względności i fizyki kwantowej. Często wskazuje się go jako jednego z pierwszych badaczy, których sposób myślenia wykraczał poza geometrię euklidesową. Riemann, podobnie jak żyjący wiek wcześniej Euler, pragnął rozwikłać zagadkę liczb pierwszych. Jego nowatorską metodą była tzw. funkcja dzeta, którą można przedstawić dwojako. Po pierwsze:
(x) =
Przy czym ten zapis nie mówi wiele, ale jeśli się go rozpisze, to otrzymamy nieco prostsze równanie:
x x x x x x x…
Teraz wygląda ono nieco jaśniej. Riemann wprowadził drobną zmianę w równaniu Eulera. Przedstawienie tego problemu w formie funkcji pozwala zobaczyć je na nieco innej płaszczyźnie. Dosłownie, bo przecież każda funkcja ma swoją reprezentację graficzną. Niemiec zatem stworzył swojego rodzaju model trójwymiarowy funkcji dzeta. W dalszej kolejności zrobił to, co jest w zasadzie podstawową czynnością wykonywaną podczas opisu funkcji – wyznaczył jej miejsca zerowe. Co się okazało? Wystarczyło określić pierwsze cztery miejsca zerowe, aby dostrzec nieoczekiwaną prawidłowość. Miejsca te utworzyły linię prostą. Dlaczego? Przecież chaotycznie rozłożone liczby pierwsze nie powinny mieć żadnego wewnętrznego ładu. Czy to oznacza, że każde kolejne miejsce zerowe będzie leżało na tej samej linii? Czy, zapytał Riemann, wszystkie nietrywialne miejsca zerowe funkcji dzeta leżą na linii prostej?
Nie pamiętam, ile miałem lat, ale z pewnością na tyle dużo, żeby mieć pełną świadomość prostych faktów – nigdy nie będę matematykiem. Było to dla mnie więcej niż pewne. Nie ukrywam – odczuwałem z tego powodu pewnego rodzaju wstyd i zażenowanie. Z Czubkiem widywałem się raz, dwa razy w tygodniu. Bardzo go polubiłem, chociaż trzeba zaznaczyć jasno, że to raczej on mówił. Ja jedynie zadawałem pytania i to dość prymitywne. Pamiętam to jedno popołudnie…
– … i to jest całkowicie nielogiczne, że wszystkie miałyby układać się w półprostą… Jakim cudem! – Chodził po pokoju i żywo gestykulował. – Wszyscy usiłują dowieść, że jest w tym jakiś sens, jakiś tajemniczy, może tajemny nawet, porządek rzeczy! Wielcy matematycy popadali w szaleństwo przez hipotezę Riemanna! Co było z Hardym i Littlewoodem? Co było z Nashem?! To wszystko najlepsi z najlepszych! Same tęgie umysły! Słuchałem, jak perorował godzinami, oczarowany jego głosem, jakby ktoś szeptał mi do ucha słowa Pieśni nad pieśniami. Nagle odstawiłem kubek z herbatą i zapytałem, bo już nie potrafiłem wytrzymać. Mogłem się pogodzić z nierozumieniem teorii i twierdzeń matematycznych, ich mogłem nie rozumieć, ale nie mogłem pozwolić sobie na nierozumienie jednego.
– Panie Krzysztofie, skąd zatem pomysł, że pan rozwiąże tę zagadkę i potwierdzi hipotezę? – Ułomność pamięci każe mi włożyć sobie w usta to zgrabne pytanie, chociaż doskonale wiem, że w rzeczywistości brzmiało naiwniej i infantylniej.
Czubek stanął jakby go momentalnie ścięło. Może się mylę i znowu dotyka mnie ułomność pamięci, ale przysiągłbym, że w jego oczach zobaczyłem błysk nienawiści.
– Potwierdzić hipotezę? – niemalże wycharczał. – Chłopcze… Ja chcę ją obalić! Ja chcę znaleźć jedno miejsce zerowe leżące poza półprostą!
Nigdy nie odpowiedziałem sobie na pytanie, dlaczego Czubek chciał obalić hipotezę Riemanna. Dlaczego chciał udowodnić, że liczbami pierwszymi rządzi chaos, a ich układ jest po prostu przypadkowy. Dlaczego jego zdania nie zmienili Hardy z Littlewoodem, którzy udowodnili, że istnieje nieskończenie wiele miejsce zerowych? Dlaczego nie przekonali go Dyson z Montgomerym, którzy udowodnili, że różnica między zerami w funkcji dzeta ma dokładnie taką samą wartość jak funkcja rozkładu poziomów energetycznych jąder pierwiastków ciężkich, czyli:
Dlaczego Czubek nie uwierzył dokonaniom Alaina Connesa, który przekonał całe środowisko matematyczne o istnieniu nowych przestrzeni subatomowych, w kontekście których liczby pierwsze można z pełnym przekonaniem badać narzędziami właściwym dla fizyki kwantowej? Geometria nieprzemienna Connesa negowała linearność i dotychczasową strukturę liczb pierwszych. Wszystko to prowadzi do przekonania, że liczby pierwsze wymykają się ludzkiej percepcji od tylu wieków, ponieważ sam człowiek nie jest w stanie spojrzeć na nie z tego samego poziomu, na którym one istnieją. Niemniej jednak, Czubek wciąż uparcie wierzył w możliwość zanegowania teorii. Kiedyś powiedział coś, co szczególnie przykuło moją uwagę.
– Foton jest cząstką elementarną, z której, no powiedzmy, zrobione jest światło. Ale jeden foton jest niepodzielny. Nie da się go na nic podzielić, tak jak nie da się podzielić liczby pierwszej! – uniósł palec w geście sygnalizującym ważną informację – Ale jeśli będziesz chciał sprawdzić, jak zachowuje się pojedynczy foton na ścieżce rozszczepionej kawałkami szkła i odpowiednio kontrowanej lustrami, to okaże się, że ten jeden foton, który, uważasz, przechodzi przez szkło… Rozszczepia się! Rozumiesz?! Gdzie go nie będziesz chciał „złapać” specjalnymi detektorami, on tam będzie! Rozumiesz?! Niepodzielna cząstka elementarna się rozszczepia i interferuje sama ze sobą! Dlaczego?! – W tym momencie ściągnął brwi, a na jego twarzy pojawił się niespokojny grymas, który towarzyszył pewnie też samemu Newtonowi, kiedy na głowę spadło mu anegdotyczne jabłko. – Bo tak. Tak jest i nic z tym nie zrobisz. To dlaczego ja mam wierzyć, że liczby pierwsze są odpowiedzią na wszystkie pytania dręczące człowieka?! – Cisza. – Dlaczego w końcu mam wierzyć, że gwarantują jakiś porządek wszechświata?! Einstein przecież sam niemalże dźwignął na nogi tego kolosa, jakim jest mechanika kwantowa, a do końca życia powtarzał, że Bóg nie gra w karty i to niemożliwe, żeby tym wszystkim rządził przypadek. Einstein wierzył w „objawienie” liczb pierwszych. W Boski porządek. A ja ci, dziecko, powiem prosto: Bóg gra w karty, gra w pokera i non stop przegrywa, bo nie może ułożyć żadnej figury! Einstein się pomylił, chociaż jego pomyłka dała podstawy zagładzie Hiroszimy i Nagasaki. Wszystkie te Roberty Oppenheimery i inne Stanisławy Ulamy udowadniają, że Bóg nie może wygrać złamanego grosza w karty!
Zabawne, że Czubek przywołał Stanisława Ulama. On przecież też przyczynił się do postrzegania liczb pierwszych jako czegoś, co posiada wewnętrznie zhierarchizowaną strukturę, a jego słynna spirala Ulama dość szybko została zauważona przez topowych matematyków ówczesnych czasów. Co takiego wydarzyło się w życiu Krzysztofa Koźleckiego, co finalnie zdeterminowało jego życie i zamieniło je w potrzebę naukowego zanegowania istnienia porządku?
– Myślisz, że ten chaos z początku to się już skończył?! – Zwykł mawiać i głośno prychać, gdy unosiłem brwi w geście niezrozumienia.
Na osiedlu różnie się mawiało. Jedni twierdzili, że jego żona krótko po ślubie i urodzeniu córki zabiła dziecko, próbowała odebrać życie jemu, a w końcu poderżnęła sobie gardło. Inni mówili, że cała rodzina Czubka zginęła w katastrofie lotniczej, a jego nie było na pokładzie, bo miał akurat ważne spotkanie z naukowym środowiskiem matematycznym. Spora grupa stwierdziła, że to od nadmiernego zaglądania do butelki, czemu mogę z miejsca zaprzeczyć, ponieważ ani razu nie widziałem w jego domu lub ręce butelki alkoholu. Wydaje mi się, że całe życie był abstynentem, kiedyś chyba mi o tym wspominał. Nigdy go o to nie zapytałem, bojąc się, że hipoteza z mordującą żoną może okazać się prawdą. Zresztą, nie chciałem wiedzieć. Było coś pięknego w jego genialnym szaleństwie. Coś, co faktycznie można nazwać iskrą bożą. Geniusz Czubka nigdy nie objawiał się dla mnie w jego nieszablonowym zachowaniu, nawet nie w tym, że chciał obalić jedną z najbardziej skomplikowanych zagadek matematycznych. Geniusz objawiał się w stuprocentowym przekonaniu, że nic na świecie nie ma sensu, a każde wydarzenie dzieje się, bo doprowadził do niego całkowicie losowy splot wydarzeń. Bez Boga, bez przeznaczenia, bez fatum, losu, predestynacji, fatalizmu, zapisu w gwiazdach, przepowiedni Nostradamusa, kabały, Apokalipsy św. Jana, widzeń innych świętych, bez proroctw i wieszczeń. Po prostu – wszechświat się rozszerza i czymś musi tę wolną przestrzeń wypełniać. Bóg gra w karty, ale każda nowo wyciągnięta z talii jest całkowicie nieprzydatna i osłabia rękę. Geniusz Krzysztofa Koźleckiego objawił się, jak sądzę, w całkowitym i szalenie odważnym przekonaniu, że sens jako taki nie istnieje.
Czubek urodził się w roku 1951, a zmarł w dwa 2017. Lubię przychodzić na jego grób, kiedy akurat jestem w rodzinnych stronach, chociaż żeby go znaleźć, musiałem poruszyć niebo i ziemię. Nie ma pomnika, ani żadnych zniczy. Nie ma kwiatów. Na pogrzebie pewnie nie było zbyt wielu osób, bo i kto miał być, skoro Czubek nikogo nie obchodził. Sam zapalam zatem mały znicz i patrzę na smętny grób. Staram się pomodlić do Boga o lepsze karty na brzegu talii i o spokój Czubka. Może już poznał odpowiedź na swoje pytanie. I już chcę odchodzić, już się odwracam, kiedy nagle czuję, że coś mnie tknęło. Sprawdzam liczby będące datami jego życia.
Liczby pierwsze to liczby, które dzielą się jedynie przez jedynkę i same siebie.
KOREKTA: Lidia Nowak
Błażej Tomaszewski – urodzony w 1993 roku, w Bydgoszczy, gdzie obecnie mieszka. Emocjonalnie związany z Toruniem. Jego niewydana powieść pt. Żebro Adamowe zdobyła wyróżnienie w II edycji ogólnopolskiego konkursu Rozpisani.pl (2018). Wiersze autora można przeczytać w antologii Wyjustowani. Antologia młodych twórców (2018) oraz na stronie internetowej Wydawnictwa j (2019).